Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，分四种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出的最小值，即可筛选出符合条件的实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ） ，

令，

①若，，则,当时，，在上单调递增；

②若，，的两解分别为且，则有

，

（i）若，,当时，，在上单调递增；

（ii）若，,当时，，则，在上单调递减；当时，，则，在上单调递增；

综上可知，若，在上单调递减,在上单调递增；若，在上单调递增.

（Ⅱ）①若，由（Ⅰ）可知在上单调递增，所以符合题意；

②若，，由（Ⅰ）可知在上单调递增，所以符合题意；

③若，，由（Ⅰ）可知在上单调递减，所以当时，不符合题意；

综上可知，.