Question

已知BD⊥平面ABC，AE∥BD，△ABC是正三角形，AB＝BD＝2AE＝2.

（1）求证：平面CDE⊥平面BCD；

（2）求点A到平面CDE的距离；

（3）求平面CDE与平面ABC所成角的大小.

Answer 1

(Ⅰ) 略   (Ⅱ)   （Ⅲ）45°

解析:

（1）证明：取CD、BC的中点F、G，连EF、FG、AG　…

（1分）

∵FGBD，AEBD　∴AEFG　∴AGEF　………（2分）

∵△ABC为正三角形，G是BC的中点∴AG⊥BC∵BD⊥平面ABC，AG平面ABC

∴BD⊥AG∴AG⊥平面BCD　………（3分）

∴EF⊥平面BCD∵EF平面CDE∴平面CDE⊥平面BCD（4分）

（2）由（1）知AG∥平面CDE，则点G到平面CDE的距离为所求.　　……（5分）

过G作GH⊥CD于H，由于平面CDE⊥平面BCD，所以GH⊥平面CDE………（6分）

∵BD＝BC＝2，∠CBD＝90°，∴∠BCD＝45°∵GC＝BC＝1　∴GH＝

即点A到平面CDE的距离为　……（8分）

（3）延长BA与DE交于M点，连CM，过A作AN⊥CM于N，连EN，

则∠ENA为所求二面角的平面角.　　　　 …………（10分）

可知AM＝AC＝2，∠CAM＝120°

∴AN＝1　∵AE＝1　∴　∴

即所求的二面角的大小为45°　　　　　…………（12分）