Question

【题目】已知函数f（x）= 过点（1，e）．
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，求 的最小值；
（3）试判断方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= 过点（1，e）．得e1+b=e，可得b=0，

∴f（x）= （x≠0），f′（x）= ，令f′（x）＞0，得x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＜0，

y=f（x）的单调增区间是[1，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）．（0，1）

（2）解：设g（x）= = ，（x＞0），g′（x）= ，令g′（x）=0，解得x=2，

x∈（0，2）时，g′（x）＜0，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，

∴g（x）在区间（0，2）上递减，在（2，+∞）递增，

∴ 的最小值为g（2）=

（3）解：方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）m= =g（x）

g′（x）= ，易知x＜0时，g′（x）＞0．

结合（2）可得函数g（x）在区间（0，2）上递减，在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．

原问题转化为y=m与y=g（x）交点个数，其图象如下：

当m≤0时，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为0；

当0＜m＜ 时，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为1；

当m= 时，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为2；

当m 时，方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）的根的个数为3；

【解析】（1）依题意得e1+b=e，可得b=0，即f（x）= （x≠0），求导数，求单调区间．（2）设g（x）= = ，（x＞0），g′（x）= ，利用导数求出单调区间，即可求最值．（3）方程f（x）﹣mx=0（m∈R且m为常数）m= =g（x） 利用导数可得函数g（x）在区间（0，2）上递减，在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．画出图象，结合图象求解，
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．