Question

直线l：（m+1）x+2y-4m-4=0（m∈R）恒过定点C，圆C是以点C为圆心，以4为半径的圆．
（1）求圆C的方程；
（2）设圆M的方程为（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1，过点M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE、PF，切点为E、F，求

CE

CF

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先求直线系过的定点，可求圆的方程．
（2）设出∠ECF，求数量积的表达式，然后求PC的范围，结合数量积，求其最值．

解答：解：（1）直线l：（m+1）x+2y-4m-4=0（m∈R）恒过定点C（4，0），半径为4，圆C的方程：（x-4）²+y²=16．
（2）设∠ECF=2α
则

CE

•

CF

=|

CE

||

CF

|  COS2α=16COS2α=32cos^2_α-16，
在 Rt△PCE中，cosα=

r

|PC|

=

4

|PC|

由圆的几何性质得|MC|-1≤|PC|≤|MC|+1，
∴6≤|PC|≤8
∴

1

2

≤cosα≤

2

3

，由此可得-8≤

CE

•

CF

≤ -

16

9

，
∴

CE

•

CF

的最大值为-

16

9

最小值为-8．

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，圆的标准方程，直线系过定点，考查转化的数学思想，是难题．