Question

设f(x)=3ax²+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)＞0,求证:

(1)方程f(x)=0有实根;

(2)-2＜＜-1;

(3)设x₁,x₂是方程f(x)=0的两个实根,则≤|x₁-x₂|＜.

Answer 1

证明：(1)若a=0,由a+b+c=0得b=-c.

∴f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c²≤0,与已知f(0)f(1)＞0矛盾.故a≠0.

因此要证f(x)=0有实根,只需证Δ=4(b²-3ac)≥0,

即证4［(-a-c)²-3ac］≥0.

只需证4(a²-ac+c²)=4(a)²+3c²≥0.

而4(a)²+3c²≥0显然成立,

∴方程f(x)=0有实根.

(2)由f(0)f(1)＞0得c(3a+2b+c)＞0,

又∵a+b+c=0,∴(a+b)(2a+b)＜0.

又∵a²＞0,∴(1+)(2+)＜0.

故-2＜＜-1.

(3)要证≤|x₁-x₂|＜成立,

只需证≤(x₁-x₂)²＜成立,

只需证≤(x₁+x₂)²-4x₁x₂＜成立.

又∵x₁+x₂=,x₁x₂=,

∴(x₁+x₂)²-4x₁x₂=(+)²+.

∵-2＜＜-1,

∴≤(x₁-x₂)²＜成立.

∴≤|x₁-x₂|＜.