Question

如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=-x²+2（0≤x≤

2

）的图象，且点M到边OA距离为t(

2

3

≤t≤

4

3

)．
（1）当t=

2

3

时，求直路l所在的直线方程；
（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求当t=

2

3

时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=-x²+2（0≤x≤

2

）在x=

2

3

时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；
（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=-x²+2（0≤x≤

2

）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜

2

）上的极大值，也就是最大值．

解答：解：（I）∵y=-x²+2，∴y′=-2x，
∴过点M（t，-t²+2）的切线的斜率为-2t，
所以，过点M的切线方程为y-（-t²+2）=-2t（x-t），
即y=-2tx+t²+2，
当t=

2

3

时，切线l的方程为y=-

4

3

x+

22

9

，
即当t=

2

3

时，直路l所在的直线方程为12x+9y-22=0；
（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=-2tx+t²+2，
令y=2，得x=

t

2

，故切线l与线段AB交点为F（

t

2

，2），
令y=0，得x=

t

2

+

1

t

，故切线l与线段OC交点为（

t

2

+

1

t

，0）．
地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，

则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=

1

2

（2-

t

2

-

1

t

+2-

t

2

）×2=4-t-

1

t

=4-（t+

1

t

）≤2．当且仅当t=1时，取等号．
∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．