Question

设函数f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（Ⅰ）求g（t）的表达式；
（Ⅱ）讨论g（t）在区间（-1，1）内的单调性并求极值．

Answer 1

分析：（ I）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，利用二次函数的性质可得g（t）的解析式．
（ II）由于g′（t）=3（2t+1）（2t-1），由此求得函数的单调区间，由单调区间求得函数的极值．

解答：解：（ I）由于f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4=sin²x-2t•sinx+t²+4t³-3t+3
=（sinx-t）²+4t³-3t+3．
由于（sinx-t）²≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）取得其最小值g（t），即g（t）=4t³-3t+3．   …（6分）
（ II）我们有g′（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1）．列表如下：

t	（-1，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	极大值g(- 1 2 )	↘	极小值g( 1 2 )	↗

由此可见，g（t）在区间(-1，-

1

2

)和(

1

2

，1)单调增加，在区间(-

1

2

，

1

2

)单调减小，
极小值为g(

1

2

)=2，极大值为g(-

1

2

)=4．   …（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求极值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．