Question

已知函数在上恒为正，则实数a的取值范围    ．

Answer 1

【答案】分析：讨论a与1的大小，将函数f（x）=log_a（ax²-x+）（a＞0且a≠1）在[，2]上恒正转化成：当0＜a＜1时，0＜ax²-x+＜1在[，2]上恒成立，当a＞1时，ax²-x+＞1在[，2]上恒成立，然后利用分离法可求出a的取值范围．
解答：解：当0＜a＜1时，
若函数f（x）=log_a（ax²-x+）（a＞0且a≠1）在[，2]上恒正
即0＜ax²-x+＜1在[，2]上恒成立，
∴-＜a＜+
而-在[，2]上的最大值为，+在[，2]上的最小值为
∴此时＜a＜
当a＞1时，函数f（x）=log_a（ax²-x+）（a＞0且a≠1）在[，2]上恒正
则ax²-x+＞1在[，2]上恒成立，
即a＞+ 在[，2]上恒成立
而+ 在[，2]上的最大值为4
∴此时a＞4
故答案为：（，）∪（4，+∞）
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，同时考查了分类讨论、转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．