Question

（2012•安庆二模）已知直线l：x+y+8=0，圆O：x²+y²=36（O为坐标原点），椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

3

2

，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点（3，0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设

OS

=

OA

+

OB

（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）计算圆心O到直线l：x+y+8=0的距离，可得直线l被圆O截得的弦长，利用直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，可求a的值，利用椭圆的离心率为e=

3

2

，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）由

OS

=

OA

+

OB

，可得四边形OASB是平行四边形．假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有

OA

⊥

OB

，设直线方程代入椭圆方程，利用向量的数量积公式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵圆心O到直线l：x+y+8=0的距离为d=

8

2

=4

2

，
∴直线l被圆O截得的弦长为2

R2-d2

=4，
∵直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，
∴2a=4，∴a=2，
∵椭圆的离心率为e=

3

2

，
∴c=

3

∴b²=a²-c²=1
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1；                              …（4分）
（Ⅱ）∵

OS

=

OA

+

OB

，∴四边形OASB是平行四边形．
假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有

OA

⊥

OB

，
设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0．…（7分）
直线l的斜率显然存在，设过点（3，0）的直线l方程为：y=k（x-3），
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，
由△=（-24k²）²-4（1+4k²）（36k²-4）＞0，可得-5k²+1＞0，即k2＜

1

5

．…（9分）
∴x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-3)(x2-3)=(1+k2)x1x2-3k2(x1+x2)+9k2=(1+k2)

36k2-4

1+4k2

-3k2

24k2

1+4k2

+9k2，
由x₁x₂+y₁y₂=0得：k2=

4

41

∴k=±

2 41

41

，满足△＞0．…（12分）
故存在这样的直线l，其方程为y=±

2 41

41

(x-3)．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，联立方程，利用向量的数量积公式、韦达定理是关键．