Question

（2007•嘉定区一模）已知函数f(x)=

|x+m-1|

x-2

，m＞0且f（1）=-1．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：
①有且仅有一个实数解；
②有两个不同的实数解；
③有三个不同的实数解．

Answer 1

分析：（1）将已知条件f（1）=-1，解得|m|=1，再结合m是正数，可得m=1；
（2）将（1）的结论代入得（-∞，m-1]=（-∞，0]根据函数单调性的定义，可设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，通过作差化简整理，最后得到f（x₁）-f（x₂）＜0，说明函数在区间（-∞，m-1]上是个增函数；
（3）首先，方程f（x）=kx有一个解x=0，然后分x＞0和x＜0加以讨论：当x＞0且x≠2时，方程转化为

x

x-2

=kx，得到x=2+

1

k

，解不等式得k＜-

1

2

或k＞0；当x＜0时，则

-x

x-2

=kx，解得x=2-

1

k

，解不等式得0＜k＜

1

2

．最后综合可得方程f（x）=kx解集的情况．

解答：解：（1）由f（1）=-1，得

|m|

-1

=-1，|m|=1，
∵m＞0，∴m=1． （4分）
（2）由（1），m=1，从而f(x)=

|x|

x-2

，只需研究f（x）在（-∞，0]上的单调性．
当x∈（-∞，0]时，f(x)=

-x

x-2

．
设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

-x1

x1-2

-

-x2

x2-2

=

2(x1-x2)

(x1-2)(x2-2)

，（6分）
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，x₁-2＜0，x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调递增函数． （10分）
（3）原方程即为

|x|

x-2

=kx…①
x=0恒为方程①的一个解． （11分）
若x＜0时方程①有解，则

-x

x-2

=kx，解得x=2-

1

k

，
由2-

1

k

＜0，得 0＜k＜

1

2

； （13分）
若x＞0且x≠2时方程①有解，则

x

x-2

=kx，解得x=2+

1

k

，
由2+

1

k

＞0且2+

1

k

≠2，得k＜-

1

2

或k＞0． （15分）
综上可得，当k∈[-

1

2

，0]时，方程f（x）=kx有且仅有一个解；
当k∈(-∞，-

1

2

)∪[

1

2

，+∞)时，方程f（x）=kx有两个不同解；
当k∈(0，

1

2

)时，方程f（x）=kx有三个不同解．   （18分）

点评：本题以含有绝对值的分式函数的形式为例，考查了函数零点的分布与单调性等知识点，属于难题．