Question

【题目】正△ABC的边长为2, CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC的中点(如图(1))．现将△ABC沿CD翻成直二面角A－DC－B(如图(2))．在图(2)中：

(1)求证：AB∥平面DEF；

(2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论；

(3)求二面角E－DF－C的余弦值．

Answer 1

【答案】(1) 见解析．(2) 见解析．(3) ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由E、F分别是AC、BC的中点，得EF∥AB，由此能证明AB∥平面DEF；（Ⅱ）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能在线段BC上存在点P，使AP⊥DE；（Ⅲ）分别求出平面CDF的法向量和平面EDF的法向量，利用同向量法能求出二面角E-DF-C的平面角的余弦值

试题解析：（1）证明：在△ABC中，因为E、F分别是AC、BC的中点，

所以EF∥AB．

又AB平面DEF，EF平面DEF，

所以AB∥平面DEF．

（2）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略）．则A（0,0,1），B（1,0,0），C（0， ，0），E（0， ， ），F（， ，0），＝（1,0，－1），＝（－1， ，0），＝（0， ， ），＝（， ，0）．

设＝λ，则＝＋＝（1－λ， λ，－1），

注意到AP⊥DE·＝0λ＝＝ ，

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．

（3）平面CDF的一个法向量＝（0,0,1），设平面EDF的法向量为n＝（x，y，z），

则，即，取n＝（3，－ ，3），

cos〈，n〉＝＝，

所以二面角EDFC的余弦值为．