Question

【题目】在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求tanA及tanC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，cos2C=1﹣2sin2C，

∴ ，

∵C为三角形内角，∴sinC＞0，

∴ ，

∵ ，∴ ，

∴sinC= ，即2sinB=sinAsinC，

∵A+B+C=π，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，

∵sinAsinC≠0，

∴

（2）解：∵ ，

∴ ，

∵A+B+C=π，

∴ ．

∴ ，

整理得tan2C﹣8tanC+16=0，

解得：tanC=4，

将tanC=4代入得： =4

【解析】（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C，变形后求出sin2C的值，由C为三角形的内角，得到sinC大于0，开方可得出sinC的值，利用正弦定理化简得到的关系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin（A+C），代入关系式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinAsinC不为0，等式左右两边同时除以cosAcosC，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可得到所求式子的值；（2）由第一问求出的式子表示出tanA，然后把tanB中的B换为π﹣（A+C），利用诱导公式化简后，将表示出的tanA代入，得到关于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值．
【考点精析】通过灵活运用两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式，掌握两角和与差的正弦公式：；两角和与差的正切公式：即可以解答此题．