Question

如图，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，AA₁=AB=2。

（1）求证：平面A₁BC⊥平面A₁AC；
（2）求三棱锥A₁-ABC的体积的最大值。

Answer 1

（1）证明：∵C是底面圆周上异于A，B的一点，且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC，
∵⊥平面ABC，平面ABC，
∴⊥BC，
又，平面，平面，
∴BC⊥平面，
∵平面，
∴平面⊥平面。
（2）解：在中，，

，
当且仅当AC=BC时等号成立，此时，
∴三棱锥的体积的最大值为。