Question

设函数f（x）的定义域是（-∞，+∞），满足条件：存在x₁≠x₂，使得f（x₁）≠f（x₂），对任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）成立．求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负．

Answer 1

分析：（1）由已知中，存在x₁≠x₂，使得f（x₁）≠f（x₂），可知函数不是常数函数，又由对任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）成立，令y=0，可得f（0）的值．
（2）根据对任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）成立，令y=x≠0，可得f（2x）=f²（x）≥0，结合（1）中结论f（x）≠0，可得f（2x）＞0，即f（x）＞0．

解答：解：（1）∵对任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）
令y=0
则f（x）=f（x）•f（0）
又∵存在x₁≠x₂，使得f（x₁）≠f（x₂），
即函数不为常数函数，即f（x）=0不成立
∴f（0）=1．
（2）令y=x≠0，
则f（2x）=f（x）•f（x）=f²（x）≥0
又由（1）中f（x）≠0，
∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，
故对任意x，f（x）＞0恒成立．

点评：本题考查的知识点是抽象函数的应用，求抽象函数的函数值，其中解答中易忽略条件：存在x₁≠x₂，使得f（x₁）≠f（x₂）的意义，而得到错解f（0）=0和f（x）≥0．