Question

分别以双曲线的焦点为顶点，以双曲线G的顶点为焦点作椭圆C。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点P的坐标为，在y轴上是否存在定点M，过点M且斜率为k的动直线 交椭圆于A、B两点，使以AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）双曲线的焦点为（），顶点为（），所以所求椭圆方程为                        ....................5分

（Ⅱ）假设存在,过点M且斜率为k的动直线 交椭圆于A、B两点，使以AB为直径的圆恒过点P ,AB方程为y=kx+,代入方程，消去y得，       ....................7分

设A（）,B()则

=，=           ....................9分

=+3（）+9

      =+（k）(k))

      =()+( )+

      =()+ k(a-3) +

由，得17，即（17+24）(3)=0..............12分

=3(舍)，=故M点的坐标存在，M的坐标为（0，）................13分