Question

（2009•温州一模）已知函数f(x)=

loga(x+1)+2  (x≥0) (a-1)•x+a2  (x＜0)

，（a＞0且a≠1）在R上是增函数，则a的取值范围是

(1，

2

]

．

Answer 1

分析：根据题意，首先要保证分段函数的两段上的表达式都要是增函数，因此a＞1，其次在两段图象的端点处必须要体现是增加的，因此得到在x=0处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值列式得出a²≤2，两者相结合可以得出a的取值范围．

解答：解：首先，y=log_a（x+1）+2在区间（0，+∞）上是增函数
且函数y=（a-1）x+a²区间（-∞，0）上也是增函数
∴a＞1…（1）
其次在x=0处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即
（a-1）•0+a²≤log_a（0+1）+2⇒a²≤2…（2）
联解（1）、（2）得1＜a≤

2

 
故答案为：(1，

2

]

点评：本题着重考查了函数的单调性的应用和对数型函数的单调性的知识点，属于中档题．本题的易错点在于只注意到两段图象的单调增，而忽视了图象的接头点处的纵坐标大小的比较，请同学们注意这点．