Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是正方形．点是棱的中点，平面与棱交于点．

（1）求证：；

（2）若，且平面平面，试证明平面；

（3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?（直接给出结论，不需要说明理由）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．

【解析】

试题（1）首先证明面，再利用线面平行的性质即可得证；（2）根据题目条件证明，，再根据线面垂直的判定即可得证；（3）假设存在符合题意的点，根据面面垂直的判定推导出与题意矛盾的地方，即可得证．

试题解析：（1）∵底面是菱形，∴，又∵面，面，∴面，又∵，，，四点共面，且平面平面，∴；（2）在正方形中，，又∵平面平面，且平面平面，

∴平面，又∵平面，∴，由（1）可知，

又∵，∴，由点是棱中点，∴点是棱中点，

在中，∵，∴，又∵，∴平面；（3）若存在符合题意的点：∵平面，平面，∴平面平面，而这与题意矛盾了，∴不存在．