Question

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%。
（1）求第n年初M的价值a_n的表达式；
（2）设，若A_n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新。证明：须在第9年初对M更新。

Answer 1

解：（1）当n＜6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列
a_n=120-10（n-1）=130-10n
当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为的等比数列，又a₆=70
所以
因此，第n年初，M的价值a_n的表达式为；
（2）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，
当n≥7时，

因为{a_n}是递减数列，
所以{A_n}是递减数列

∴
所以须在第9年初对M更新。