Question

【题目】已知函数对任意，都有，且时，.

(1)求证是奇函数；

(2)求在上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】(1) 证明见解析，(2)6，-6.

【解析】

（1）根据任意，都有，利用赋值法构造奇偶性判断的定义即可证明；（2）根据已知利用赋值法构造单调性的定义判断后，即可求在上的最大值和最小值．

(1)证明　令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．

(2)解　任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.

所以f(x)为减函数．

而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.

所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.