Question

【题目】如图，直三棱柱的所有棱长都是2，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）取的中点，连接，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得，证得，，即可求解；

（2）由（1）得到，即为平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；

（3）求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）如图所示，取的中点，连接，

由直三棱柱的所有棱长都是2，是中点，，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

由分别为的中点，可得,可得，，两两垂直.

以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

可得，，

∵，，∴，，

又，∴平面.

（2）由（1）可得平面，则，即为平面的一个法向量，

又由，

设直线与平面所成的角为，

可得，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（3）设平面的法向量，

因为，可得 ，即，

不妨取，得.

设二面角的平面角为，

由，

所以二面角的余弦值为.