Question

已知二次函数y=f（x）图象的顶点是（-1，3），又f（0）=4，一次函数y=g（x）的图象过（-2，0）和（0，2）．
（1）求函数y=f（x）和函数y=g（x）的解析式；
（2）当x＞0时，试求函数y=

f(x)

g(x)-2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）待定系数法：设f（x）=a（x+1）²+3（a≠0），由f（0）=4可求a；设g（x）=mx+n（m≠0），由图象过两点可得m，n方程组，解出即可；
（2）y=

f(x)

g(x)-2

=

(x+1)2+3

x+2-2

=x+

4

x

+2，利用基本不等式可求得最小值；

解答：解：（1）设f（x）=a（x+1）²+3（a≠0），
由f（0）=4得，a+3=4，解得a=1，
所以f（x）=（x+1）²+3；
设g（x）=mx+n（m≠0），
由g（x）图象过点（-2，0）和（0，2），得-2m+n=0，n=2，
所以m=1，n=2，
所以g（x）=x+2．
（2）由于x＞0，所以y=

f(x)

g(x)-2

=

(x+1)2+3

x+2-2

=x+

4

x

+2≥2

x• 4 x

+2=6，
当且仅当x=

4

x

，即x=2时取等号，
所以y=

f(x)

g(x)-2

的最小值为6；

点评：本题考查二次函数、一次函数解析式的求法及基本不等式求函数的最值，属基础题．