Question

（本小题14分）如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,为的中点.
(1)求直线与所成角的余弦值;
(2)在侧面内找一点,使平面，并分别求出点到和的距离.

Answer 1

解 方法一 （1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0），B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、
E(0，，1)，从而=（，1，0），=（，0，-2）.
设与的夹角为，则cos===，
∴AC与PB所成角的余弦值为……………………………………7分
（2）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x,0,z）,则=（-x，，1-z），由NE⊥平面PAC可得
，即,化简得,∴ 
即N点的坐标为（，0，1），
从而N点到AB、AP的距离分别为1，…………………14分
方法二 （1）设AC∩BD=O，
连接OE，AE，BD，则OE∥PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，
∴由余弦定理得cos∠EOA=,
即AC与PB所成角的余弦值为.
(2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=.连接PF,则在Rt△ADF中,DF==,AF=AD·tan∠ADF=.
设N为PF的中点，连接NE，则NE∥DF.
∵DF⊥AC，DF⊥PA，
∴DF⊥平面PAC，从而NE⊥平面PAC.
∴N点到AB的距离为AP=1，N点到AP的距离为AF=.

略