Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2a，AA1=t•a（t＞0，t∈R），∠BAC=120°，
（1）若在BC上存在点D，使DA₁⊥平面AB₁C₁，求实数t的值，并判断D点的位置；
（2）在（1）成立的条件下，求二面角D-AC₁-B₁大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）可考虑用空间向量来解决立体几何问题，若DA₁⊥平面AB₁C₁，则

A1D

垂直于平面AB₁C₁上两个不共线向量．
先建立空间直角坐标系，把定点坐标表示出来，求出向量

A1D

的坐标，在平面AB₁C₁上，找两个不共线的向量，求出坐标，再计算这两个向量与

A1D

的数量积，让数量积等于0，求D点坐标，若能求出，则ED点存在，否则，不存在．
（2）求二面角的大小，只需求这两个平面的法向量夹角的大小，法向量的夹角，是这两个平面所成角，或所成角的补角．

解答：解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，Aa1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（

3

a，-a，0）C（0，2a，0），A1（0，0，ta），B1（

3

a，-a，ta），C1（0，2a，ta）
令

BD

=λ

BC

，D（x，y，z），∴（x-

3

a，y+a，z）=λ（0-

3

a，2a+a，0）
∴

x=- 3 aλ+ 3 a y=3aλ- z=0

，∴D（-

3

aλ+

3

a，3aλ-a，0）

A1D

=（-

3

aλ+

3

a，3aλ-a，-ta），

AB1

=（

3

a，-a，ta），

AC1

=（0，2a，ta）

A1D • AB1 =(- 3 aλ+ 3 a，3aλ-a，-ta)，•(   3 a，-a，ta)=0 A1D • AC1 =(- 3 aλ+ 3 a，3aλ-a，-ta )• =0，2a，ta)=0

∴t=1，λ=

1

2

，D是BC的中点．
（2）平面DAC1的法向量为

n

=（1，-

3

，2

3

），平面DAC1的法向量为

m

=（

3

，1，-2）
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n ||  m |

=

6

4

，∴二面角D-AC₁-B₁大小的余弦值w为

6

4

．

点评：本题考查了利用空间向量证明线面垂直，以及求二面角的大小的问题，属于空间向量的应用．