Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，a₁a₃=6a₂，且a₁，a₂，a₃-8成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

n(n+1)

an

，求证：b_n≤1．

Answer 1

分析：（1）由a₁a₃=6a₂，得a₂=6，由a₁，a₂，a₃-8成等差数列，得a₁+（a₃-8）=2a₂，即

6

q

+6q-8=12，
可求出q，根据等比数列的通项公式可得a_n；
（2）由（1）可得b_n=

n(n+1)

2•3n-1

，利用作差可判断数列{b_n}的单调情况，根据单调性可求得最大项，由此可证明；

解答：解：（1）由a₁a₃=6a₂，得a₂=6，
由a₁，a₂，a₃-8成等差数列，得a₁+（a₃-8）=2a₂，即

6

q

+6q-8=12，
解得q=

1

3

（舍去），或q=3，
数列{a_n}的通项公式为an=a2qn-2=6•3^n-2=2•3^n-1；
（2）b_n=

n(n+1)

an

=

n(n+1)

2•3n-1

，
则b_n+1-b_n=

(n+1)(n+2)

2•3n

-

n(n+1)

2•3n-1

=

(n+1)[(n+2)-3n]

2•3n

=

2(n+1)(1-n)

2•3n

≤0，
当且仅当n=1时取等号，
所以b₁=b₂，n≥2时，b_n+1＜b_n从第二项起成单调递减数列，
又b₂=b₁=1，所以数列{b_n}中的最大项是1，
因此，b_n≤1．

点评：本题考查等比数列的通项公式、等差数列的中项公式，考查学生分析问题解决问题的能力．