Question

数列{}中，a₁=3，，
(1)求a₁、a₂、a₃、a₄；
(2)用合情推理猜测关于n的表达式(不用证明)；
(3)用合情推理猜测{}是什么类型的数列并证明；
(4)求{}的前n项的和。

Answer 1

(1)3,10,27,68
(2) a_n-n=n2ⁿ
(3)=22^n-1，

试题分析：解：(1) a₁=3， a₂=a₁-1-1=10，a₃=a₂-2-1=27，
a₄=a₃-3-1=68        2分
(2)由(1)，a₁-1=2=12，a₂-2=8=22²，a₃-3=24=32³，a₄-4=64=42⁴，
猜测a_n-n=n2ⁿ，              4分
(3) 由(2)，a_n-n=n2ⁿ，=2ⁿ，因此可推测{}是等比数列   5分证明如下：
 a_n+1=a_n-n-1， a_n+1-(n+1)= a_n-2(n+1)=2(n+1)(-1)，
=2, 而=20, {}是首项为2，公比为2的等比
数列；               8分
(4)由(3)=22^n-1， a_n="n+" n 2ⁿ,            10分
{a_n}的前n项的和: S_n=+12+22²+32³+ +n2ⁿ。
记P=12+22²+32³+ +n2ⁿ，则2P-P= n2ⁿ⁺¹-(2+2²+2³+ +2ⁿ)= (n-1)2ⁿ⁺¹+2
 P=(n-1)2ⁿ⁺¹+2,  S_n=+(n-1)2ⁿ⁺¹+2.           13分
点评：解决的关键是能根据递推关系来归纳猜想来得到数列的通项公式的特点，进而分析证明，属于基础题。