Question

已知

a

=(sin(

π

6

x-

π

3

)，2)，

b

=(2，sin(

π

6

x+

π

3

)+2)，f(x)=

a

•

b

（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若y表示某海岸港口的深度（米），x表示一天内时间（小时）；当水深不低于5米时，船才能驶入港口，求一天内船可以驶入或驶出港口的时间共有多少小时？

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式求出f（x），利用和、差角公式化简f（x）．
（2）将实际问题转化为三角不等式，列出不等式，结合三角函数的图象解出不等式的解集．

解答：解：（1）f(x)=2sin(

π

6

x-

π

3

)+2sin(

π

6

x+

π

3

)+4
=2sin

π

6

xcos

π

3

-2cos

π

6

xsin

π

3

+2sin

π

6

xcos

π

3

+2cos

π

6

xsin

π

3

+4
=4sin

π

6

xcos

π

3

+4
=2sin

π

6

x+4，
∴f（x）=2sin

π

6

x+4．

（2）由题意，令sin

π

6

x+4≥5，∴sin

π

6

x≥

1

2

．
∴2kπ+

π

6

≤

π

6

x≤2kπ+

5

6

π，（k∈Z），
∴12kπ+1≤x≤12k+5，（k∈Z），
又∵0≤x≤24，∴k=0时，1≤x≤5；k=1时，13≤x≤17，
∴从晚上1点至5点，或上午13点至17点，为所求时间，共8小时，

点评：本题考查向量的数量积公式、和差角公式、结合三角函数的图象及三角函数的单调性，周期性解三角不等式．