Question

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）当△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数时，求抛物线方程；此时设⊙C₁、⊙C₂…⊙C_n是圆心在y²=4mx（m＞0）上的一系列圆，它们的圆心纵坐标分别为a₁，a₂…a_n，已知a₁=6，a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，又⊙C_k（k=1，2，…，n）都与y轴相切，且顺次逐个相邻外切，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据所给的抛物线方程，写出要用的两个点，根据所给的离心率的值，求出椭圆的字母系数，写出椭圆的方程．
（2）根据题意设出椭圆的方程，把椭圆的方程与抛物线的方程进行联立，得到交点的坐标，根据三角形的三边长度是连续的整数，求出m的值，后面是求解数列的通项的问题，对于递推式的整理是本题的重点，得到结果．

解答：解：（1）当m=1时，y²=4x，则F₁（-1，0），F₂（1，0）
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
则c=1又e=

c

a

=

1

2

∴a=2，b=

3

∴椭圆C₂方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）因为c=m，e=

1

2

，
∴a=2m，b²=3m²，设椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1
由椭圆的方程与y²=4mx，得3x²+16mx-12m²=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x1=

2m

3

代入抛物线方程得y1=

2 6

3

m
P（

2m

3

，

2 6 m

3

）
|PF₂|=x₁+m=

5m

3

，|PF₁|=2a-

5m

3

=

7m

3

，|F₁F₂|=2m=

6m

3

，
∵△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数，
∴m=3
此时抛物线方程为y²=12x
设Cn(

an2

12

，an)，⊙Cn半径为 rn=

an2

12

，则由题|C_nC_n-1|=r_n+r_n-1
∴

( an2 12 - an-12 12 )2+(an-an-1)2

=

an2

12

+

an-12

12

∴

an2 • an-12

36

=an2+an-12-2an • an-1
∴

1

an2

-

2

an • an-1

+

1

an-12

=

1

36

∴(

1

an

-

1

an-1

)2=

1

36

，又 0＜an＜an-1
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

6

即{

1

an

}是以

1

6

为公差，首项

1

a1

=

1

6

的等差数列
∴

1

an

=

1

6

+(n-1)×

1

6

=

n

6

∴an=

6

n

点评：本题考查解析几何与数列的综合题目，题目中所应用的数列的解题思想，用到曲线与曲线之间的交点问题，本题主要考查运算，整个题目的解答过程看起来非常繁琐，注意运算．