Question

已知函数
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；
（Ⅱ）若，讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）对任意的，恒有，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）
（2）若，则，可知函数的增区间为和，减区间为                                  
若，则，可知函数的增区间为；
若，则，可知函数的增区间为和，减区间为
（3）

试题分析：解：（Ⅰ），得切线斜率为               2分
据题设，，所以，故有                             3分
所以切线方程为即                          4分
（Ⅱ） 
若，则，可知函数的增区间为和，减区间为                                   8分
若，则，可知函数的增区间为；
若，则，可知函数的增区间为和，减区间为  10分
（Ⅲ）当时，据（Ⅱ）知函数在区间上递增，在区间上递减，所以，当时，，故只需，
即
显然，变形为，即，解得               12分
当时，据（Ⅱ）知函数在区间上递增，则有
只需，解得.
综上，正实数的取值范围是                         14
点评：考查了导数在研究函数中的运用，求解切线方程以及函数单调性，以及函数的最值，属于中档题。