Question

设A={（x，y）|y²-x-1=0}，B={（x，y）|4x²+2x-2y+5=0}，C={（x，y）|y=kx+b}，是否存在k，b∈N^*，使得（A∪B）∩C=∅？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：假设存在k，b∈N⁺，使得（A∪B）∩C=∅，可得出A∩C=∅且B∩C=∅，联立A与C中的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据A与C的交集为空集，得到此方程无解，即根的判别式小于0，列出关于b的不等式；联立B与C中的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据A与C的交集为空集，得到此方程无解，即为根的判别式小于0，列出关于b的不等式，确定出b的范围，根据b为正整数求出b的值，代入求出k的值即可．

解答：解：假设存在k，b∈N⁺，使得（A∪B）∩C=∅，
则A∩C=∅且B∩C=∅，
联立

y2=x+1 y=kx+b

，消去y得：k²x²+（2bk-1）x+b²-1=0，
由A∩C=∅，得到△₁=（2bk-1）²-4k²（b²-1）＜0，即4k²-4bk+1＜0，
此不等式有解的充要条件是16b²-16＞0，即b²＞1①，
联立

4x2+2x-2y+5=0 y=kx+b

，消去y得：4x²+（2-2k）x+（5-2b）=0，
由B∩C=∅，得到△₂=（2-2k）²-16（5-2b）＜0，即k²-2k+8b-19＜0，
可得4-4（8b-19）＞0，即b＜2.5②，
由b为正整数，得到b=2，
将b=2代入

4k2-8k+1＜0 k2-2k-3＜0

，且k为正整数，
解得：k=1，
综上b=2，k=1，使得（A∪B）∩C=∅．

点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．