Question

【题目】如图所示，在棱长为4的正方体中，点M是正方体表面上一动点，则下列说法正确的个数为（ ）

①若点M在平面ABCD内运动时总满足，则点M在平面ABCD内的轨迹是圆的一部分；

②在平面ABCD内作边长为1的小正方形EFGA，点M满足在平面ABCD内运动，且到平面的距离等于到点F的距离，则M在平面ABCD内的轨迹是抛物线的一部分；

③已知点N是棱CD的中点，若点M在平面ABCD内运动，且平面，则点M在平面内的轨迹是线段；

④已知点P、Q分别是，的中点，点M为正方体表面上一点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

对于①，结合圆锥的性质，可判断其正确；对于②，结合抛物线的定义，可知其正确；对于③，取AB的中点I，BC的中点O，易证平面平面，可知当M在线段IO上时，满足题意；对于④，只需过点P作直线CQ的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为动点M的轨迹，求出周长，即可判断④正确.

对于①，因为满足条件的动点M是以为轴线，以为母线的圆锥与平面ABCD的交线，即圆的一部分，故①是正确的；

对于②，依题意知点M到点F的距离与到直线AB的距离相等，所以M的轨迹是以F为焦点，AB为准线的抛物线，故②是正确的；

对于③，如图（1），取AB的中点I，BC的中点O，显然，，从而可以证明平面平面，当M在线段IO上时，均有平面，即动点M的轨迹是线段IO，故③是正确的；

对于④，如图（2），依题意，只需过点P作直线CQ的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为动点M的轨迹．分别取，的中点R，S，由，知，易知，又，，所以平面ABRS，过P作平面ABRS的平行平面，点M的轨迹为四边形，其周长与四边形ABRS的周长相等，所以点M所构成的轨迹的周长为，故④是正确的．

因此说法正确的有4个.

故选：D．