Question

①已知sinα-cosα=

1

5

，求sin2α的值．
②证明

sin(2α+β)

sinα

-2cos(α+β)=

sinβ

sinα

．

Answer 1

分析：①将已知等式两边平方，再结合同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式，即可得到sin2α的值．
②配角：2α+β=α+（α+β），将左边分式的分子展开后通分合并，结合两角差的正弦公式，化简整理即得原不等式成立．

解答：解：①由题得：(sinα-cosα)2=

1

25

，即sin²α-2sinαcosα+cos²α=

1

25

∵sin²α+cos²α=1，
∴1-sin2α=

1

25

，可得sin2α=

24

25

②∵sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）
∴

sin(2α+β)

sinα

-2cos(α+β)=

sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)-2sinαcos(α+β)

sinα

=

cosαsin(α+β)-sinαcos(α+β)

sinα

=

sin[(α+β)-α]

sinα

=

sinβ

cosα

∴原等式成立

点评：本题通过求值和证明恒等式成立，着重考查了同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题．