Question

【题目】若二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝4x+6，且f（0）＝3．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+（a﹣2）x2+（2a+2）x，g（x）在[﹣2，+∞）单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）＝2x2+4x+3；（Ⅱ）[0，3]

【解析】

（I）采用待定系数法即可求解；

（II）先将表达式化简，得，再对参数进行分类讨论，分为一次函数和二次函数两种情况求解，当函数为二次函数时，结合开口和对称轴的关系判断即可

（I）设f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），∵f（x+1）﹣f（x）＝4x+6，且f（0）＝3，

∴a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝4x+6，且c＝3，整理可得，2ax+a+b＝4x+6，

∴2a＝4，a+b＝6，c＝3，∴a＝2，b＝4，c＝3，∴f（x）＝2x2+4x+3；

（II）由（Ⅰ）可知，g（x）＝f（x）+（a﹣2）x2+（2a+2）x＝ax2+（2a+6）x+3，

当a＝0时，g（x）＝6x+3在[﹣2，+∞）单调递增，符合题意，

当a≠0时，对称轴x，由g（x）在[﹣2，+∞）单调递增可得，，解可得，0＜a≤3，

综上可得，a的范围[0，3]．