Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2x-x²，
（1）求f（x）的表达式；
（2）设0＜a＜b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[

1

b

，

1

a

]，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由题意设x＜0，得-x＞0利用已知的解析式求出f（-x）=-x²-2x，再由f（x）=-f（-x），求出f（x）时的解析式．
（2）因为0＜a＜b，利用配方法，可以证明f（x）在x＞0时的单调性，需要分类讨论，再对其进行求解；

解答：解：（1）设x＜0，可得-x＞0，
∵当x≥0时f（x）=2x-x²，
∴f（-x）=-2x-（-x）²=-2x-x²，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（-x）=-f（x）=-2x-x²，
∴f（x）=x²+2x
∴f（x）=

2x-x2，x≥0 2x+x2，x＜0

（2）∵0＜a＜b，当x∈[a，b]时，当x≥0时f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1
f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
若0＜a＜b＜1，可得值域为[2a-a²，2b-b²]，
f（x）的值域为[

1

b

，

1

a

]，∴

1 b =2a-a2 1 a =2b-b2

解得a=b=1，（舍去）
若1＜a＜b，可得值域为[2b-b²，2a-a²]，f（x）的值域为[

1

b

，

1

a

]，
∴

2b-b2= 1 b 2a-a2= 1 a

，解得a=b=1，
若0＜a≤1≤b，可得x=1处取得最大值，f（x）_max=f（1）=2-1=1，
最小值在x=a或x=b处取得，
∵当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[

1

b

，

1

a

]，
∴

1

a

=1，可得a=1，
若

1

b

=2a-a²，可得b=1（舍去）；
若

1

b

=2b-b²，化简得（b-1）（b²-b-1）=0解得b₁=

1+ 5

2

，b₂=

1- 5

2

（舍去），
∴a=1，b=

1+ 5

2

点评：此题主要考查函数解析式的求法，考查的知识点比较多，第二问解答的过程中用到了分类讨论的思想，是一道好题！