Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，BB₁⊥平面ABC
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析：（I）取BC中点O，连接AO． 可由面面垂直的性质得到AO⊥平面B₁C₁CB，令B₁C₁中点为O₁，以0为原点，OB，OO₁，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出向量

AB1

，

BD

，

BA1

的坐标，用向量法可得

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

，进而由线面垂直的判定定理得到AB₁⊥平面A₁BD；
（II）求出平面AA₁D的法向量

m

，结合（I）中结论

AB1

为平面A₁BD的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A-A₁D-B的余弦值；
（Ⅲ）由（I）中

AB1

为平面A₁BD的法向量，求出向量

BC

的坐标，代入d=

| BC • AB1 |

| AB1 |

，可得点C到平面A₁BD的距离．

解答：解：（I）取BC中点O，连接AO． 
∴△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面B₁C₁CB，
∴AO⊥平面B₁C₁CB，
取B₁C₁中点O₁，以0为原点，OB，OO₁，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（-1，1，0），A₁（0，2，

3

），A（0，0，

3

），B₁（1，2，0），
∴

AB1

=（1，2，-

3

），

BD

=（-2，1，0），

BA1

=（-1，2，

3

）．
∵

AB1

•

BD

=-2+2=0，

AB1

•

BA1

=-1+4-3=0
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

∴AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）设平面AA₁D的法向量为

m

=（x，y，z）．
∵

AD

=（-1，1，-

3

），

AA1

=（0，2，0）．

m

⊥

AD

，

m

⊥

AA1

，
∴

m • AD =0 m • AA1 =0

，即

-x+y- 3 z=0 2y=0

令z=1得

m

=（-

3

，0，1）
由（I）知AB₁⊥平面A₁BD，
∴

AB1

为平面A₁BD的法向量．
∴cos＜

n

，

AB1

＞=

- 3 +0- 3

2•2 2

=-

6

4

∴二面角A-A₁D-B的余弦值为

6

4

．
（3）由（2），

AB1

为平面A₁BD的法向量，
又∵

BC

=（-2，0，0），

AB1

=（1，2，-

3

），．
∴点C到平面A₁BD的距离d=

| BC • AB1 |

| AB1 |

=

|-2|

2 2

=

2

2

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中建立空间坐标系，将空间线面关系，夹角问题转化为向量问题是解答的关键．