Question

设0＜a＜1，根据函数的单调性定义证明函数f（x）=log_nx+log_xa在（1，

1

a

）上是增函数．

Answer 1

分析：步骤：（1）设元x₁、x₂，设1＜x₁＜x_2^＜

1

a

，
（2）作差：f（x₁）-f（x₂）=

log

x1 a

+

log

a x1

-

log

x2 a

-

log

a x2

（3）变形，应用对数运算性质，所有的对数式化为同底的，提取公因式，将式子变成因式乘积的形式，
（4）判断符号（正、负），得出结论．

解答：解：证明：设1＜x₁＜x_2^＜

1

a

，
f（x₁）-f（x₂）=

log

x1 a

+

log

a x1

-

log

x2 a

-

log

a x2

=

log

x1 x2 a

（1-

1

log x1 a log x2 a

）
由条件得：

log

x1 x2 a

＞0，

又∵-1≤

log

x1 a

、

log

x2 a

＜0，
∴0＜

log

x1 a

•

log

x2 a

＜1，
故 f（x₁）-f（x₂）＞0
∴在（1，

1

a

）上f（x）是增函数．

点评：本题考查证明函数单调性的方法步骤．