Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线的准线为，其焦点为F，点B是抛物线C上横坐标为的一点，若点B到的距离等于．

(1)求抛物线C的方程，

(2)设A是抛物线C上异于顶点的一点，直线AO交直线于点M，抛物线C在点A处的切线m交直线于点N，求证：以点N为圆心，以为半径的圆经过轴上的两个定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点，

【解析】

(1) 由题意，得，则△BOF为等腰三角形，求出线段OF的中点的横坐标即可得到抛物线C的方程；

(2) 设切线m的方程为：，联立方程，借助韦达定理可得，再求出，表示以为半径的圆的方程即可得到两个定点.

(1)由题意，得，则△BOF为等腰三角形，

因为点B的横坐标为，所以线段OF的中点的横坐标为，

从而点F的横坐标为1，即，所以p=2，

故所求抛物线C的方程为；

(2)证明：设切线m的方程为：，由

（*）

由题意知，即

所以方程（*）的根为 ，从而，

直线OA的方程为

由，得，由，得，

所以以点N为圆心，以为半径的圆的方程为，

令，得，解得，

所以圆N经过x轴上的两个定点和.