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    【题目】如图，三棱台中， 侧面与侧面是全等的梯形，若,且.

    （Ⅰ）若， ，证明： ∥平面；

    （Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

    【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .

    【解析】试题分析：(Ⅰ) 连接，由比例可得∥，进而得线面平行；

    （Ⅱ）过点作的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设，则求得平面的法向量为，设平面的法向量为，由求二面角余弦即可.

    试题解析：

    （Ⅰ）证明：连接，梯形， ,

    易知： ；

    又，则∥；

    平面， 平面，

    可得： ∥平面；

    （Ⅱ）侧面是梯形， ，

    , ,

    则为二面角的平面角， ；

    均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则

    ,故点，

    ；

    设平面的法向量为，则有： ；

    设平面的法向量为，则有： ；

    ，

    故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

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    合格

    优秀

    合计

    男生

    18

    女生

    25

    合计

    100

    附：．

    0.050

    0.010

    0.005

    3.841

    6.635

    7.879

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