Question

【题目】已知数列{an}，{bn}满足：bn＝an＋1－an（n∈N*）．

（1）若a1＝1，bn＝n，求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＋1bn－1＝bn（n≥2），且b1＝1，b2＝2．

（ⅰ）记cn＝a6n－1（n≥1），求证：数列{cn}为等差数列；

（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足的条件．

Answer 1

【答案】（1）an＝（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（1）利用叠加法求数列{an}的通项公式：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝（2）（ⅰ）利用定义证等差数列：cn＋1－cn＝

a6n＋5－a6n－1为常数，由bn＋1bn－1＝bn得{bn}为周期数列，再由bn＝an＋1－an得a6n＋5－a6n－1＝b6n－1＋b6n＋b6n＋1＋b6n＋2＋b6n＋3＋b6n＋4＝7（ⅱ）由（ⅰ）知数列{a6(n－1)＋i}均为以7为公差的等差数列，而，因此ai＝时，重复出现无数次，因此依次类推得a1∈{，，，－，－}数列中必有某数重复出现无数次；当a1B时，最多出现一次

试题解析：解：（1）当n≥2时，有an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝

又a1＝1也满足上式，所以数列{an}的通项公式是an＝

（2）（ⅰ）因为对任意的n∈N*，有bn＋6＝＝bn，

所以cn＋1－cn＝a6n＋5－a6n－1

＝b6n－1＋b6n＋b6n＋1＋b6n＋2＋b6n＋3＋b6n＋4

＝1＋2＋2＋1＋＋＝7

所以，数列{cn}为等差数列．

（ⅱ）设cn＝a6(n－1)＋i(n∈N*)（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，

所以cn＋1－cn＝a6(n－1)＋6＋i－a6(n－1)＋i

＝b6(n－1)＋i＋b6(n－1)＋i＋1＋b6(n－1)＋i＋2＋b6(n－1)＋i＋3＋b6(n－1)＋i＋4＋b6(n－1)＋i＋5＝7，

即数列{a6(n－1)＋i}均为以7为公差的等差数列．

设fk＝（其中n＝6k＋i， k≥0，

i为{1，2，3，4，5，6}中一个常数）

当ai＝时，对任意的n＝6k＋i，有；

当ai≠时，fk＋1－fk＝－＝

①若ai＞，则对任意的k∈N有fk＋1＜fk，所以数列{ }为递减数列；

②若ai＜，则对任意的k∈N有fk＋1＞fk，所以数列{}为递增数列．

综上所述，集合B＝{}∪{}∪{}∪{－}∪{－}＝{，，，－，－}．当a1∈B时，数列中必有某数重复出现无数次；当a1B时，数列{}(i＝1，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．16分