Question

10．已知函数f（x）=ax³+x²（a∈R）在$x=-\frac{4}{3}$处取得极值
（1）确定a的值；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（-$\frac{4}{3}$）=0，求出a的值即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2x，
若f（x）在$x=-\frac{4}{3}$处取得极值，
则f′（-$\frac{4}{3}$）=3a•$\frac{16}{9}$+2•（-$\frac{4}{3}$）=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x³+x²，
f′（x）=$\frac{3}{2}$x²+2x=x（$\frac{3}{2}$x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-$\frac{4}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{4}{3}$＜x＜0，
故f（x）在（-∞，-$\frac{4}{3}$）递增，在（-$\frac{4}{3}$，0）递减，在（0，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性、极值的意义，考查导数的应用，是一道基础题．