Question

在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切，求

   （1）动圆的圆心轨迹方程L;

   （2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。

Answer 1

解析：（1）由可得

    由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为,

    则有

    整理得到动圆圆心轨迹方程  .  …………（5分）

    另解  由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，

    且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程

    ，即…………………（5分）

    （2）联立方程组                ①

               ②

    消去得     ，

    由 整理得

                    ③

    从③可知 。 故令，代入③可得

     再令，代入上式得………（10分）

    同理可得，。可令代入③可得

               ④

    对④进行配方，得  

    对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，所

    以.令，则 .

    所以               …………………………………（15分）

    仅当时，为完全平方数。于是解得

        . …………………（20分）