Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．

（I）求的解析式及单调递减区间；

（II）是否存在常数，使得对于定义域内的任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）递减区间为和，增区间为.（2）

【解析】试题分析：

(1)利用切线的斜率求得 即可确定函数的解析式，然后结合函数的导函数和定义域即可确定函数的单调递减区间为和, 函数的的单调增区间为.

(2)问题等价于，分别讨论 和 两种情况可得： .

试题解析：

（1）， ，

由题意有： 即： ，

，由 或，

函数的单调递减区间为和

由 ， 函数的的单调增区间为.

（2）要恒成立，即

①当时， ，则要： 恒成立，

令，则，

再令，则，所以在单调递减，

， ， 在单调递增，

，

②当时， ，则要恒成立，

由①可知，当时， ， 在单调递增，

当时， ， ，

在单调递增， ，

综合①，②可知： ，即存在常数满足题意.