Question

【题目】已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．

∵g（﹣x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）＝g（x），∴g（x）是偶函数，

若g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有4个零点，

等价于当x＞0时，g（x）有两个不同的零点，

∵f（x）是奇函数，∴由g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）＝0，

得f（x2）＝﹣f（a﹣2|x|）＝f（2|x|﹣a），

∵f（x）是单调函数，∴x2＝2|x|﹣a，即﹣a＝x2﹣2|x|，

当x＞0时，﹣a＝x2﹣2|x|=x2﹣2x有两个根即可，

设h（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

要使当x＞0时，﹣a＝x2﹣2|x|有两个根，

则﹣1＜﹣a＜0，即0＜a＜1，

即实数a的取值范围是（0，1），

故选：D