Question

【坐标系与参数方程选做题】直线

x=1+2t y=1-t

与曲线ρ=2cosθ相交，截得的弦长为

2 5

5

．

Answer 1

分析：将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线的参数方程转化为一般方程，利用直线与圆的位置关系，构造直角三角形运用勾股定理，即可求解．

解答：解：∵曲线的极坐标方程ρ=2cosθ，化为ρ²=2ρcosθ，
则化成直角坐标方程为x²+y²-2x=0，即（x-1）²+y²=1，
∴（x-1）²+y²=1表示圆心为（1，0），半径r=1的圆，
∵直线为

x=1+2t y=1-t

，则直线的一般方程为x+2y-3=0，
∴圆心（1，0）到直线x+2y-3=0的距离d=

|1+2×0-3|

12+22

=

2 5

5

，
设弦长为l，则根据勾股定理可得，d²+（

1

2

l）²=r²，
故（

2 5

5

）²+（

1

2

l）²=1，解得l=

2 5

5

，
∴截得的弦长为

2 5

5

．
故答案为：

2 5

5

．

点评：本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．考查了直线与圆的位置关系，求直线被圆所截得的弦长问题，要注意运用弦长的一半，半径，弦心距构成的直角三角形求解．属于基础题．