Question

(2007山东，19)如下图，在直四棱柱中，已知，AD⊥DC，AB∥DC．

(1)设E是DC的中点，求证：∥平面；

(2)求二面角的余弦值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)连接BE，则四边形DABE为正方形， ∴，且， ∴四边形为平行四边形． ∴． 又平面，平面， ∴． (2)以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA=1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，(0，2，2)，(1，0，2)， ∴=(1，0，2)，=(1，1，0)． 设n=(x，y，z)为平面的一个法向量， 由，， 得 取z=1，则n=(－2，2，1)． 又=(0，2，2)，=(1，1，0)， 设为平面的一个法向量，由，， 得 取，则m=(1，－1，1)． 设m与n的夹角为α，二面角为θ，显然θ为锐角， ∴．∴． 即所求二面角的余弦值为． 解法二：(1)以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设DA=a，由题意知： D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，2a，0)，(0，2a，2a)，(a，0，2a)，(0，0，2a)，E(0，a，0)， ∴=(0，a，－2a)，=(a，0，2a)，=(a，a，0)． 又(0，a，－2a)=(a，a，0)－(a，0，2a)， ∴． ∵，DB平面，平面， ∴． (2)取DB的中点F，的中点M，连接，FM，由(1)及题意得知，M(0，a，a)， ∴， ． ， ． ∴，FM⊥DB． ∴为所求二面角的平面角． ∴ ． 所以二面角的余弦值为． 解法三：(1)证明：如解法一图，连接，AE， 设，AE∩BD=F，连接GF， 由题意知G是的中点，又E是CD的中点， ∴四边形ABED是平行四边形，故F是AE的中点， ∴在中，， 又GF平面，平面， ∴∥平面． (2)如图，在四边形ABCD中，设AD=a， ∵AB=AD，AD⊥DC，AB∥DC， ∴AD⊥AB． 故，由(1)得，DC=2a， ∴∠DBC=90°， 即BD⊥BC．又， ∴BD⊥平面，又平面，∴． 取的中点M，连接，FM，由题意知， ∴FM⊥BD．又，∴． ∴为二面角的平面角， 连接，在中，由题意知： ，， 取的中点H，连接，HM， 在Rt中，∵，HM=a， ∴． ∴． ∴二面角的余弦值为．