Question

已知数列满足，且对任意非负整数均有：.

（1）求；

（2）求证：数列是等差数列，并求的通项；

（3）令，求证：.

 

Answer 1

【答案】

：（1），；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）对m、n赋值，想方设法将条件变出.为了得到，显然令m=n即可.

为了得到，令m=1，n＝0即可.

（2）首先要想办法得相邻两项（三项也可）间的递推关系.

要证数列是等差数列，只需证明为常数即可.

（3）数列中有关和的不等式的证明一般有以下两种方向，一是先求和后放缩，二是先放缩后求和.在本题中，易得，∴

这是典型的用裂项法求和的题.故先求出和来，然后再用放缩法证明不等式.

试题解析：（1）令得，          1分

令，得，∴        3分

（2）令，得：

∴，又，

∴数列是以2为首项，2为公差的等差数列.

∴

∴

∴            9分

（3）∴

∴    13分

考点：1、递推数列；2、等差数列；3、不等式的证明.