Question

设各项均为正数的数列的前n项和为S_n,已知，且对一切都成立．
（1）若λ=1，求数列的通项公式；
（2）求λ的值，使数列是等差数列．

Answer 1

（1）an = 2n-1（2）λ = 0.

解析试题分析：（1）本题属于“已知求”,利用化简关系式. 因为，所以先分离与，即，这是类等比，利用叠乘法得到，再利用，消去得.求数列{an}通项公式时，需讨论当n = 1时是否满足的情形.（2）解答本题需注意逻辑关系，由数列是等差数列得λ = 0，这是一个必要条件，还需验证其充分性，即λ = 0时，数列是等差数列.这可类似（1）的解答过程.
试题解析：解：（1）若λ = 1，则，．
又∵， ∴， 2分
∴， 
化简，得．①4分
∴当时，．②
② -①，得，∴（）．6分
∵当n = 1时， ，∴n = 1时上式也成立，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n-1（）．8分
（2）令n = 1，得．令n = 2，得． 10分
要使数列是等差数列，必须有，解得λ = 0． 11分
当λ = 0时，，且．
当n≥2时，，
整理，得，， 13分
从而，
化简，得，所以． 15分
综上所述，（），
所以λ = 0时，数列是等差数列． 16分
考点：已知求