Question

已知定义在R⁺上的函数f（x）有2f(x)+f(

1

x

)=2x+

1

x

+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g(x)=

f2(x)-2x

(x＞0)，直线y=

2

n-x（n∈N^*）分别与函数y=g（x），y=g^-1（x）交于A_n、B_n两点（n∈N^*）．设a_n=|A_nB_n|，S_n为数列{a_n}的前n项和．
①求a_n，并证明

S

2 n-1

=

S

2 n

-

2Sn

n

+

1

n2

(n≥2)；
②求证：当n≥2时，Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)．

Answer 1

分析：（1）2f(x)+f(

1

x

)=2x+

1

x

+3，故2f(

1

x

)+f(x)=

2

x

+x+3，由此能求出f（x）．
（2）由g(x)=

(x+1)2-2x

=

x2+1

，联立

y= x2+1 y= 2 n-x

得交点An(

2n2-1

2 2 n

，

2n2+1

2 2 n

)，由此得Bn(

2n2+1

2 2 n

，

2n2-1

2 2 n

)，由此能求出求a_n，并证明

S

2 n-1

=

S

2 n

-

2Sn

n

+

1

n2

(n≥2)；当n≥2时，Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)．

解答：解：（1）2f(x)+f(

1

x

)=2x+

1

x

+3
故2f(

1

x

)+f(x)=

2

x

+x+3，
两式联立可得f（x）=x+1．
（2）由（1）可得g(x)=

(x+1)2-2x

=

x2+1

，
联立

y= x2+1 y= 2 n-x

，
得交点An(

2n2-1

2 2 n

，

2n2+1

2 2 n

)，由此得Bn(

2n2+1

2 2 n

，

2n2-1

2 2 n

)，
所以an=|AnBn|=

( 2n2-1 2 2 n - 2n2+1 2 2 n )2+( 2n2+1 2 2 n - 2n2-1 2 2 n )2

=

1

n

，
∵Sn-

1

n

=Sn-1
∴

S

2 n-1

=

S

2 n

-

2Sn

n

+

1

n2

，
∴当n≥2时，

S

2 n

-

S

2 n-1

=

2Sn

n

-

1

n2

，

S

2 n-1

-

S

2 n-2

=

2Sn-1

n-1

-

1

(n-1)2

，…

S

2 2

-

S

2 1

=

2S2

n

-

1

22

，
累加得：

S

2 n

=2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)+1-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
又∵1-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＞1-[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]
=1-(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=

1

n

＞0
∴Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．