Question

定义在R⁺上的增函数f（x）满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）、f（4）的值；
（2）若f（x）+f（x-3）≤2，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），可得f（1）=0；由f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），可得f（4）．
（2）由f（xy）=f（x）+f（y），得f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤2=f（4），根据函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，列出不等式即可得x的取值范围．

解答：解：（1）∵f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），
∴f（1）=0．
∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2×1=2．
∴f（1）=0，f（4）=2．
（2）∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]，且f（4）=2，
∴f（x）+f（x-3）≤2可变形为f[x（x-3）]≤2=f（4），
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

，解得，3＜x≤4．
∴x的取值范围为（3，4]．

点评：本题考查了抽函象数的性质和应用，解题时要注意公式f（xy）=f（x）+f（y）的灵活运用．抽象函数的求值问题一般运用赋值法求解，属于中档题．