Question

【题目】已知：f（x）=2 cos2x+sin2x﹣ +1（x∈R）．求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[﹣ ， ]时，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sin2x+ （2cos2x﹣1）+1

=sin2x+ cos2x+1

=2sin（2x+ ）+1）

函数f（x）的最小正周期为T= =π

（2）解：由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+

得2kπ﹣ ≤2x≤2kπ+

∴kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z

函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（3）解：因为x∈[﹣ ， ]，∴2x+ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[- ，1]，∴f（x）∈[0，3]

【解析】（1）利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数y=2 cos2x+sin2x﹣ +1，为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出最小正周期；（2）将2x+ 看成整体在[2kπ﹣ ，2kπ+ ]上单调递增，然后求出x的取值范围，从而求出函数的单调增区间．（3）根据x∈[﹣ ， ]，求出2x+ 的范围，从而求出sin（2x+ ）的取值范围，从而求出f（x）的值域．
【考点精析】通过灵活运用两角和与差的正弦公式和正弦函数的单调性，掌握两角和与差的正弦公式：；正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数即可以解答此题．