Question

如图(1),已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形.将它沿对称轴OO₁折成直二面角,如图(2).

(1)证明AC⊥BO₁;

(2)求二面角O—AC—O₁的大小.

Answer 1

解法一：(1)证明:由题设知OA⊥OO₁,OB⊥OO₁,

    所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.

    故可以O为原点,OA、OB、OO₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.如下图,则相关各点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1,)、O₁(0,0,).

    从而=(-3,1,),=(0,-3,),·=-3+·=0.

    所以AC⊥BO₁.

(2)解:因为·=-3+·=0,

    所以BO₁⊥OC.

    由(1)AC⊥BO₁,所以BO₁⊥平面OAC,BO₁是平面OAC的一个法向量.

    设n=(x,y,z)是平面O₁AC的一个法向量,

    由

    取z=,得n=(1,0,).

    设二面角O—AC—O₁的大小为θ,由n、的方向可知θ=〈n,〉,

    所以cosθ=cos〈n,〉==,

    即二面角O—AC—O₁的大小是arccos.

解法二:(1)证明:由题设知OA⊥OO₁,OB⊥OO₁,所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.

    从而AO⊥平面OBCO₁,OC是AC在面OBCO₁内的射影.

    因为tan∠OO₁B=,tan∠O₁OC==,

    所以∠OO₁B=60°,∠O₁OC=30°,

    从而OC⊥BO₁.

    由三垂线定理得AC⊥BO₁.

(2)解:由(1)AC⊥BO₁,OC⊥BO₁,知BO₁⊥平面AOC.

    设OC∩O₁B=E,过点E作EF⊥AC于点F,连结O₁F(如下图),

    则EF是O₁F在平面AOC内的射影.由三垂线定理得O₁F⊥AC,

    所以∠O₁FE是二面角O—AC—O₁的平面角.

    由题设知OA=3,OO₁=,O₁C=1,

    所以O₁A=,

AC=.

    从而O₁F=.

    又O₁E=OO₁·sin30°=,

    所以sin∠O₁FE=,

    即二面角O—AC—O₁的大小是arcsin.